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数学证明中使用的一个重要步骤就是用真值相同的一条语句替换另一条语句。因此，从给定符合命题生成具有相同真值命题的方法广泛使用与数学证明的构造。

逻辑规则给出数学语句的准确含义。这些规则可以用来区分数学论证的有效或无效。逻辑不仅对理解数学推理十分重要，而且在计算机科学中有许多应用。这些逻辑规则用于计算机电路设计、计算机程序构造、程序正确性验证以及许多其他方面。

逻辑在数学、计算机科学和其他许多学科有着许多重要的应用。数学、自然科学以及自然语言中的语句通常不太准确，甚至有歧义。为了是表达更精确，可以将他们翻译成逻辑语言。

嵌套量词: 一个量词出现在另一个量词的作用域内。嵌套量词经常出现在数学和计算机科学中。

所谓 论证(argument)，是指一连串的命题并以结论为最后的命题。所谓有效性(valid)，是指结论或论证的最后一个命题必须根据论证过程前面的命题或前提(premise)的真实性推出。也就是说，一个论证是有效的当且仅当不可能出现所有前提为真而结论为假的情况。

本章将研究关于证明的艺术和科学方面的一些问题。我们将提供如何寻找一个定理的证明的一些忠告。我们还将描述一些窍门，包括如何通过反向思维和通过改编现有证明来发现证明。

本节我们将介绍一种表达能力更强的逻辑，即谓词逻辑。我们将看到谓词逻辑如何用来表达数学和计算机科学中各种语句的意义，并允许我们推理和探索对象之间的关系。