2.5. 集合的基数

可数无限集： 集合中的元素是可列举的。如正整数集$\set{1,2,3,\dots}$。
不可数无限集： 集合中的元素不可列举。如实数集。

定义1

集合$A$和集合$B$有相同的基数（cardinality），当且仅当存在从$A$到$B$的一个一一对应。当$A$和$B$有相同的基数时，就写成$|A| = |B|$。

---

定义2

如果存在一个从$A$到$B$的一对一函数，则$A$的基数小于或等于$B$的基数，并写成$|A| \le |B|$。再者，当$|A| \le |B|$，并且A和B有不同的基数时，我们就说$A$的基数小于$B$的基数，并写成$|A| < |B|$

可数集

[info] 一个集合或者是有限集或者与自然数具有相同的基数，这个集合就称为可数的（countable）。一个集合不是可数的，就称为不可数的（uncountable）。如果一个无限集$S$是可数的，我们用符号$\aleph_0$（阿里夫）。来表示集合S的基数。写作$\abs{S}=\aleph_0$。并说S有基数“阿里夫零”。

定理1

如果$A$和$B$是可数集合，则$A \cup B$也是可数集合

---

定理二

SCHRÖDER-BERNSTEIN定理 如果$A$和$B$是集合且$|A| \le |B|$ 和 $|B| \le |A|$ ，则$|A| = |B|$ 。换言之，如果存在一对一函数$f$从$A$到$B$和$g$从$B$到$A$，则存在$A$和$B$之间的一一对应函数