2.3. 函数

在数学和计算机科学中函数的概念特别重要，例如在离散数学中函数用于定义像序列和字符串这样的离散结构。函数还可用于表示计算机需要多少时间来解决给定规模的问题。许多计算机程序和子程序被设计用来计算函数值。

定义1

令$A$和$B$为非空集合。从$A$到$B$的函数$f$是对元素的一种指派，对$A$的每个元素恰好指派B的一个元素。如果$B$中元素$b$是唯一有函数$f$指派给$A$中元素$a$的，则我们就写成$f(a)=b$。如果$f$是从$A$到$B$的函数，就写成$f:A \to B$

[warning] 函数有时也称为映射（mapping）或者变换（transformation）

定义2

如果$f$是从$A$到$B$的函数，我们说$A$是$f$的定义域（domain），而$B$是$f$的陪域（codomain）。如果$f(a)=b$，我们说$b$是$a$的像（image），而$a$是$b$的原像（preimage）。f的值域（range）或像是$A$中元素的所有像的集合。如果$f$是从$A$到$B$的函数，我们说$f$把$A$映射（map）到$B$。

注意这里的陪域和值域的区别。陪域中可以有元素不是像，而值域中所有的元素都是像。如果陪域是B，值域是C，那么$C \sube B$