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在数学和计算机科学中函数的概念特别重要，例如在离散数学中函数用于定义像序列和字符串这样的离散结构。函数还可用于表示计算机需要多少时间来解决给定规模的问题。许多计算机程序和子程序被设计用来计算函数值。

序列是元素的有序列表，在离散数学中有许多应用。序列也是计算机科学中一种重要的数据结构。一个序列中的项可以通过一个适用于序列中每一项的公式描述。

本章将要展开的内容是基于整除性的概念，一个整数被一个正整数，得到一个商和一个余数。与这些余数打交道导致模算术，它在数学中起着重要的作用并广泛应用于计算机科学领域中。

定义1

这一节我们将研究最基本的离散结构--集合，所有其他离散结构都建立与集合之上。集合可用于把对象聚集在一起。通常，一个集合中的对象都有相似的性质。

可数无限集： 集合中的元素是可列举的。如正整数集$\set{1,2,3,\dots}$。

两个或多个集合可以以许多不同的方式结合在一起。

数学证明中使用的一个重要步骤就是用真值相同的一条语句替换另一条语句。因此，从给定符合命题生成具有相同真值命题的方法广泛使用与数学证明的构造。

逻辑规则给出数学语句的准确含义。这些规则可以用来区分数学论证的有效或无效。逻辑不仅对理解数学推理十分重要，而且在计算机科学中有许多应用。这些逻辑规则用于计算机电路设计、计算机程序构造、程序正确性验证以及许多其他方面。

逻辑在数学、计算机科学和其他许多学科有着许多重要的应用。数学、自然科学以及自然语言中的语句通常不太准确，甚至有歧义。为了是表达更精确，可以将他们翻译成逻辑语言。

嵌套量词: 一个量词出现在另一个量词的作用域内。嵌套量词经常出现在数学和计算机科学中。

所谓 论证(argument)，是指一连串的命题并以结论为最后的命题。所谓有效性(valid)，是指结论或论证的最后一个命题必须根据论证过程前面的命题或前提(premise)的真实性推出。也就是说，一个论证是有效的当且仅当不可能出现所有前提为真而结论为假的情况。

本章将研究关于证明的艺术和科学方面的一些问题。我们将提供如何寻找一个定理的证明的一些忠告。我们还将描述一些窍门，包括如何通过反向思维和通过改编现有证明来发现证明。

本节我们将介绍一种表达能力更强的逻辑，即谓词逻辑。我们将看到谓词逻辑如何用来表达数学和计算机科学中各种语句的意义，并允许我们推理和探索对象之间的关系。

数学中专门研究整数集合及其性质的分支称为数论。本章我们将讲解数论中的一些重要概念，其中许多会在计算机科学中用到。在我们讲解数论时会使用第一章降到的证明方法来证明许多定理。