2.6. 矩阵

定义1

矩阵（matrix）是矩形状的数组。$m$行$n$列的矩阵称为$m \times n$矩阵。行数和列数相同的矩阵称为方阵（square）。如果两个矩阵有相同数量的行和列且每个违章上的对应项都相等，则这两个矩阵是相等的。

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定义2

令m和n是正整数，并令

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}$$

$\bm{A}$ 的第 $i$ 行是 $1 \times n$ 矩阵 $[a_{i1}, a_{i2} , \dots , a_{in}]$。$A$ 的第 $j$ 列是 $m \times 1$ 矩阵$\begin{bmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \\ \end{bmatrix}$。
$\bm{A}$的第 $(i,j)$ 元素（element）或项（entry）是元素 $a_{ij}$，即$A$的第$i$行第$j$列位置上的数。表示矩阵$\bm{A}$的一个方便的间歇符号是写成$\bm{A}=[a_{ij}]$，表示A是其第 $(i,j)$ 元素为 $a_{ij}$ 的矩阵。

矩阵算术

定义3

令$\bm{A} = [a_{ij}]$和$\bm{B} = [b_{ij}]$ 为 $m \times n$ 矩阵。$\bm{A}$ 和 $\bm{B}$的和，记作$\bm{A} + \bm{B}$，是其第 $(i, j)$元素为$a{ij} + b{ij}$的矩阵。换言之，$\bm{A} + \bm{B} = [a_{ij} + b_{ij}]$。

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定义4

令$\bm{A}$为$m \times k$矩阵，$\bm{B}$为$k \times n$矩阵。$\bm{A}$和$\bm{B}$的乘积，记作$\bm{A}\bm{B}$，是一个$m \times n$矩阵，其第 $(i, j)$元素等于$\bm{A}$的第$i$行与$\bm{B}$的第$j$列对应元素的乘积之和。换言之，如果$\bm{A}\bm{B} = [c_{ij}]$，则

$$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{ik}b_{kj}$$

矩阵的转置和幂

定义5

$n$阶单位矩阵（identity matrix of order $n$）是 $n \times n$矩阵$\bm{I}_n = [\delta_{ij}]$，其中$[\delta_{ij}] = 1$，如果$i=j$，$[\delta_{ij}] = 1$如果$i \ne g$。因此

$$\bm{I}_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots &0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \\ \end{bmatrix}$$

一个矩阵乘以一个合适的单位矩阵不会改变该矩阵。换言之，当$\bm{A}$是一个$m \times n$矩阵是，有

$$\bm{A}\bm{I}_n = \bm{I}_m\bm{A} = \bm{A}$$

定义6

令 $\bm{A} = [a_{ij}]$ 为 $m \times n$矩阵。$\bm{A}$的转置(transpose)，记作$\bm{A}^T$，是通过交换$\bm{A}$的行和列所得到的$n \times m$矩阵。换言之，如果$\bm{A}^T = [b_{ij}]$，则$b_{ij} = a_{ji}, i = 1,2,3, \dots,n,j = 1,2,3, \dots,m$

对角线上的元素不变。

$$\bm{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \bm{A}^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$$

定义7

方阵$\bm{A}$称为对称点（symmetric）如果$\bm{A} = \bm{A}^T$。因此$\bm{A}=[a_{ij}]$为对称的如果对所有$i$和$j$，$1 \le i \le n$和$1 \le j \le n$，有$a_{ij} = a_{ji}$

矩阵

0-1矩阵

所有元素非0即1的矩阵称为0-1矩阵

定义8

令 $\bm{A}=[a_{ij}]$ 和 $\bm{B}=[b_{ij}]$ 为 $m \times n$ 阶0-1矩阵。$\bm{A}$和$\bm{B}$的并是0-1矩阵，其中 $(i, j)$元素为 $a_{ij} \lor b_{ij}$。$\bm{A}$和$\bm{B}$的并记作$\bm{A} \lor \bm{B}$。$\bm{A}$和$\bm{B}$的交是0-1矩阵，其中 $(i, j)$元素为 $a_{ij} \land b_{ij}$。$\bm{A}$和$\bm{B}$的交记作$\bm{A} \land \bm{B}$。

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定义9

令 $\bm{A}=[a_{ij}]$ 为$m \times k$阶0-1矩阵， $\bm{B}=[b_{ij}]$ 为 $k \times n$ 阶0-1矩阵。$\bm{A}$和$\bm{B}$的布尔积（Boolean product），记作$\bm{A} \odot \bm{B}$，是$m \times n$矩阵$[c_ij]$，其中

$$c_{ij} = (a_{i1} \land b_{1j}) \lor (a_{i2} \land b_{2j}) \lor \dots \lor (a_{ik} \land b_{kj})$$